Однородная система уравнений

Предложение 15.2 Однородная система уравнений

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}a_{11}x_1+a_{12}x_2+\ldots+a_{1n}x_n=0,\\ ... ...\ldots\ldots\ldots\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\ldots+a_{mn}x_n=0\end{array}\right.$

(15.7)

всегда является совместной.

В этом разделе мы будем использовать матричную запись системы:

Предложение 15.3 Сумма решений однородной системы линейных уравнений является решением этой системы. Решение, умноженное на число, тоже является решением.

Пусть ${\alpha}$ -- произвольное число, ${h={\alpha}c}$ . Тогда

Следствие 15.1 Если однородная система линейных уравнений имеет ненулевое решение, то она имеет бесконечно много различных решений.

Действительно, умножая ненулевое решение на различные числа, будем получать различные решения.

Определение 15.5 Будем говорить, что решения ${x^{(1)},x^{(2)},\ldots,x^{(k)}}$ системы

образуют фундаментальную систему решений, если столбцы ${x^{(1)},x^{(2)},\ldots,x^{(k)}}$ образуют линейно независимую систему и любое решение системы является линейной комбинацией этих столбцов.

Определение 15.6 Пусть ${x^{(1)},x^{(2)},\ldots,x^{(k)}}$ -- фундаментальная система решений однородной системы

. Тогда выражение

$\displaystyle x=C_1x^{(1)}+C_2x^{(2)}+\ldots+C_kx^{(k)},$

где ${C_1,C_2,\dots,C_k}$ -- произвольные числа, будем называть общим решением системы

Из определения фундаментальной системы решений следует, что любое решение однородной системы может быть получено из общего решения при некоторых значениях ${C_1,C_2,\dots,C_k}$ . И наоборот, при любых фиксированных числовых значениях ${C_1,C_2,\dots,C_k}$ из общего решения получим решение однородной системы.

Теорема 15.3 Пусть ${x^{(1)},x^{(2)},\ldots,x^{(k)}}$ -- фундаментальная система решений однородной системы . Тогда ${{\rm Rg}A+k=n}$ , где -- число неизвестных в системе.

Доказательство читатель может найти, например, в [1].